http://math-study.seesaa.net/ 高校数学の勉強がしたい人のために、学習支援するblogです。かなり気ままにやっていますが、質問などもあればどうぞ!! ja http://math-study.seesaa.net/article/40712772.html メールは見ますので、質問などあったらどうぞ。数学のこととか、(大学での数学のことは目下勉強中ですから･･･パス)勉強の仕方とか(定期試験の点数だけはよかったんで)、うちの大学のこととか(川崎市と横浜市の市の境目辺りにあります･･･)きちんと頂いた限りは、きちんとお返事をさせていただきます。(メールではなく、ブログ上で返事をさせてください。) Info カレハ 2007-05-03T23:57:02+09:00 数学のこととか、(大学での数学のことは目下勉強中ですから･･･パス)
勉強の仕方とか(定期試験の点数だけはよかったんで)、
うちの大学のこととか(川崎市と横浜市の市の境目辺りにあります･･･)

きちんと頂いた限りは、きちんとお返事をさせていただきます。
(メールではなく、ブログ上で返事をさせてください。) ]]> http://math-study.seesaa.net/article/40710820.html 気がつけば春、でした。丁度、半年振りの投稿になります。別に、私が死んでいたわけでも、このブログを捨てたわけでもありません。ただ「なんとなく」で生きているので、ブログも「なんとなく」となってしまうわけで･･･というか、メールを頂きまして、また、やれそうならやるか。。。という気になったので、近々また始めたいなぁ、と思った次第です。ただ、自分の数学の勉強でややいっぱいな部分があるので、どこまで軌道に乗るかは、モチベーション次第かな? Info カレハ 2007-05-03T23:26:47+09:00 丁度、半年振りの投稿になります。
別に、私が死んでいたわけでも、
このブログを捨てたわけでもありません。
ただ「なんとなく」で生きているので、
ブログも「なんとなく」となってしまうわけで･･･

というか、メールを頂きまして、
また、やれそうならやるか。。。という気になったので、
近々また始めたいなぁ、と思った次第です。

ただ、自分の数学の勉強でややいっぱいな部分があるので、
どこまで軌道に乗るかは、モチベーション次第かな? ]]> http://math-study.seesaa.net/article/26727691.html 1ヶ月ぶりになってしまいました･･･2次関数の最大最小を求める問題って、高1だと良く出るんです。夏休みに塾の夏期講習で、叩き込まれた覚えがあるのですが、なんだかよく分からないくらい、この手の問題が解けるようになって、おかげで、高1の間はちょっと成績がよかったかなぁ。。。でも、講習中に一番前の席で寝て「ガクッ」となって、大きい音を立ててしまい、すごく恥ずかしい思いをした、余計な思い出もあります。眠いときは、我慢しないで思い切り寝ましょう。ここからが、本題。2次関数は放物線の形を... Study カレハ 2006-11-04T00:38:56+09:00
2次関数の最大最小を求める問題って、高1だと良く出るんです。
夏休みに塾の夏期講習で、叩き込まれた覚えがあるのですが、
なんだかよく分からないくらい、この手の問題が解けるようになって、
おかげで、高1の間はちょっと成績がよかったかなぁ。。。
でも、講習中に一番前の席で寝て「ガクッ」となって、大きい音を立ててしまい、すごく恥ずかしい思いをした、余計な思い出もあります。
眠いときは、我慢しないで思い切り寝ましょう。

ここからが、本題。

2次関数は放物線の形をしています。
なので、y=ax²+bx+cの関数のyの値について、
関数全体を見たときは、
下に凸の形の場合は、頂点が最小、
上に凸の形の場合は、頂点が最大　　になります。

そして、
下に凸の形の場合は、最大値、
上に凸の形の場合は、最小値　　が存在しません。
グラフの形を見れば分かりますが、線は左右に広がり縦に伸び続けます。

なので、学校の問題で「最大値、最小値を求めよ｣と書いてあっても、
「そういう値はない」という結果になる可能性もあるわけです。
問われているなら、答えがあるはずだ
という考えは捨てましょう･･･。

しかしこんな問題では簡単なので、定義域(xの範囲)が決められていることがほとんどです。
これがまた厄介なのですが、今回は一番単純なパターンをまず考えて見ます。

問)次の関数の最大値と最小値を求めよ。
y=x²-2x+2
1)0≦x≦3
2)2≦x≦3

とりあえず、この関数が座標上でどの様な形をしているかを考えます。
y=x²-2x+2
=(x-1)²+1
つまり、頂点(1,1)で、下に凸のグラフです。

1)0≦x≦3のとき、
頂点(x=1)が含まれているので、このときのy値が最小値です。
このグラフは、頂点から距離が遠いほど大きい値をとります。
1→0より、1→3のほうが遠いので、
x=0よりx=3のときのほうが、大きい値をとります。
よって、
最大値　5　、　最小値　1　です。

2)2≦x≦3のとき、
頂点は含まれていません。
ということで、この範囲のxの値のとるyの値を比べなければいけないわけです。
しかし、このグラフは、頂点から距離が遠いほど大きい値をとる、ということから頂点 x=1　からの距離を考えれば、
最小値　x=2 のとき2 、最大値 x=3 のとき5
と、あれこれ計算しなくても、分かるわけです。

これなら単純に分かるのですが、
「高校数学のポイントは、場合分け」
といわれるように、ちょっとはっきりしないaとかbとかcみたいな
物が入ってくると、あんなとき、こんなとき･･･
といろいろな場合を考えないといけないわけです。
これが分かれば、高1の数学は頂きモノじゃないかと私は思うんですけどね。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/24903080.html 何で中学高校のときは、分かりやすいことから応用していったのに、大学の数学は抽象的なことから、具体的な話をするんだろう。でも具体的なものより、n×n行列みたいな方が好きかな。二次関数の頂点って、どうやったら分かるのというお話。二次関数というのは、y=ax2を平行移動したものです。（aは好きな数字)このときの頂点の位置は(0,0)です。では、これが(2,1)に移動したとします。このとき、グラフ上の点は全部「右に2、上に1」移動したと考えられます。y=ax2のグラフ上の点を一般的に... Study カレハ 2006-10-04T23:10:03+09:00 大学の数学は抽象的なことから、具体的な話をするんだろう。
でも具体的なものより、n×n行列みたいな方が好きかな。

二次関数の頂点って、どうやったら分かるのというお話。

二次関数というのは、y=ax²を平行移動したものです。
（aは好きな数字)
このときの頂点の位置は(0,0)です。
では、これが(2,1)に移動したとします。
このとき、グラフ上の点は全部「右に2、上に1」移動したと考えられます。
y=ax²のグラフ上の点を一般的に(x,y)と書いてみると、
移動したあとのグラフの点は、x,yを使って、
(x-2,y-1)と書くことができます。
ここで、「何で??」と思った人は、下の文章を読んでみてください。
正の方向に移動したのに、何故引き算??と思ってしまった人へ。
移動したあとのグラフの座標をX,Yとすると、
x=X+2
y=Y+1
ということは、
X=x-2
Y=y-1
実はこれだけです。

これをy=ax²の、x,yと置き換えると、
y=a(x-2)²+1
となって、これが頂点(2,1)の二次関数の方程式です。
逆にたどっていくと、式から頂点の座標が分かる、ということが分かると思います。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/23868525.html 平方完成ができるようになったところで、グラフを書いてみましょう!! というのが今回のテーマ。二次関数の一番簡単な形(今後「基本の形」と言う事にします)はy=x2です。これは、頂点が原点にあって、下に凸、y軸対称な放物線のグラフになるというのは、これまでで分かると思います。(分からなければ書いてみるのが一番です。)では、y=(x+2)2はどうなるでしょうか。(前回の例(1)です。)少し平面上に点を取ってみると、x=0のときy=4x=±1のときy=9x=±2のときy=16となり、... Study カレハ 2006-09-17T00:37:44+09:00 グラフを書いてみましょう!!　というのが今回のテーマ。

二次関数の一番簡単な形(今後「基本の形」と言う事にします)は
y=x²です。
これは、頂点が原点にあって、下に凸、y軸対称
な放物線のグラフになるというのは、これまでで分かると思います。
(分からなければ書いてみるのが一番です。)

では、y=(x+2)²はどうなるでしょうか。
(前回の例(1)です。)
少し平面上に点を取ってみると、
x=0のときy=4
x=±1のときy=9
x=±2のときy=16
となり、基本の形の頂点をそのまま上のほうにずらしたものになります。
それっぽく言うなら、たとえば「y軸方向に+4平行移動」といえばいいでしょうか。「y軸正方向に4平行移動」でも同じことです。
「形が変わっていない」のも割と重要です。
形が変わってしまったら、平行移動ではなくなってしまうからです。
そして「どれだけ移動したか」＝「頂点がいくつ移動したか」
であることに注意しましょう。

ただ、いちいち点を取って、線で結ばないといけない、
というのは面倒なので、式を見てグラフが書けるようになりたいと思います。

今回はあまり内容がありませんでしたが、
長くなりすぎないために、ここで区切っておきます。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/23817301.html 8/17にお知らせした別館が、「別館:数学塾」という名前で、アメーバに移動させることにしました。記事を移動させているところです。新しいアドレスは、http://ameblo.jp/mathematik/ ちなみに、"Mathematik"はドイツ語で数学という意味です。英語と似てますね。 Info カレハ 2006-09-16T01:46:40+09:00 「別館:数学塾」
という名前で、アメーバに移動させることにしました。
記事を移動させているところです。
新しいアドレスは、http://ameblo.jp/mathematik/

ちなみに、"Mathematik"はドイツ語で数学という意味です。
英語と似てますね。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/23649228.html 一次関数が動けば、二次関数も動く。そもそも、原点を通るグラフのほうが少ないわけです。そんなことを考えながら、平方完成のお話。平方完成は、二次式を平方→何かの2乗の形とその和や差に表現し直すことです。上で書いた、何かの二乗の形、というのは具体的にいうと(x+△)2の形です。(xは変数、△は何でもいい)平方完成したあとは、xに係数がついていてはいけません。では、具体的に計算をしてみることにしましょう。例)1)y=x2+4x+42)y=x2+4x+73)y=2x2+4x+151)は... Study カレハ 2006-09-12T18:26:24+09:00 そもそも、原点を通るグラフのほうが少ないわけです。
そんなことを考えながら、平方完成のお話。

平方完成は、二次式を
平方→何かの2乗の形
とその和や差に表現し直すことです。

上で書いた、何かの二乗の形、というのは具体的にいうと
(x+△)²
の形です。(xは変数、△は何でもいい)
平方完成したあとは、
xに係数がついていてはいけません。
では、
具体的に計算をしてみることにしましょう。

例)
1)y=x²+4x+4
2)y=x²+4x+7
3)y=2x²+4x+15

1)はこれまでにやってきたとおりのものです。
　y=x²+4x+4
　 =(x+2)²

2)は1と比べると+3したものになっているので･･･
　y=x²+4x+7
　 =(x+2)²+3
ただ単に3を足せばよいわけです。
無理やり、2乗にしようとしても無理なものは無理なのです。
そんなときは、あとで加えておけばよいわけです。

3)はさらに変形してあります。
この式から(x+△)²の形を導き出すためには
とりあえず、2乗の前の2をxから引き離してしまいましょう。
ただ、15は2で割ると分数になってしまうので、ここでは放っておきます。
分数ほど面倒なものはないですから。
　y=2x²+4x+15
　 =2(x²+2x)+15
次に、展開したらx²+2xのような形が出てくる
(x+△)²を考えて見ます。
(x+1)²
=x²+2x+1　…旅
ですね。
これを上の式と比べてみます。
　y=2x²+4x+15
　 =2(x²+2x)+15
　 =2(x²+2x+1)+15-2
()の中身を、旅で置き換えてみました。
そうすると、はじめより2大きくなってしまったので、
最後にその分を引いておきます。
最後にこれをまとめて、
答えは　y=2(x²+1)²+13

どうしたら、(x+△)²の形をすばやく判断できるのかというと、
私は、xの係数を見ています。
(x+△)²=x²+2△x+△²
なので、xの係数の1/2が△になっているのです。
あとは、余計なものを足したり引いたりして、
最終的に前後が同じになるように調節します。

これができるようになれば、
グラフィも簡単に書くことができます。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/23487890.html 前回はあまり考えないで、記事を作ってしまったので、今日は教科書を見ながら記事を書きます怜二次関数で一番簡単なグラフはy=ax2です。このグラフでは、放物線の一番とがったところ(「頂点」といいます)が、原点Oを通ります。そして、y軸に関して左右対称です。関数の問題で「二次関数である」と明記してある場合y=ax2のaは0ではありません。0だと二次の項がなくなってしまい、二次関数ではなくなってしまうからです。逆に何も書いていなかった場合は、二次関数でない場合も考えても... Study カレハ 2006-09-09T11:58:27+09:00 今日は教科書を見ながら記事を書きます怜

二次関数で一番簡単なグラフは
y=ax²
です。
このグラフでは、放物線の一番とがったところ(「頂点」といいます)
が、原点Oを通ります。そして、y軸に関して左右対称です。

関数の問題で「二次関数である」と明記してある場合
y=ax²
のaは0ではありません。0だと二次の項がなくなってしまい、
二次関数ではなくなってしまうからです。
逆に何も書いていなかった場合は、二次関数でない場合も考えても良い
(または、考えなければいけない)ということです。

aは色々な数を取ることができるので、正の数の事も負の数の事もあります。
aが正の数の場合→放物線は下にとがった形(下に凸)
aが負の数の場合→放物線は上にとがった形(上に凸)です。

一次関数を上下に移動させることができたように、
二次関数も上下左右に移動させることができます。

二次関数を一般的な形で書くと
y=ax²+bx+c
となります。
二次関数のグラフを書くときの定石は、
「平方完成」というやつです。

多分それで記事一つ分かけるので、とりあえずここまで。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/23263302.html 更新頻度が上がらなくて申し訳ありません。2次関数のグラフってどんな形をしているでしょうか･･･?グラフの形を知りたければ、y=x2に数字を代入してグラフ用紙に点を打ってみれば分かるので、知らないなら一度やってみることをお勧めします。で、どのような形かというと「放物線」 です。放物線は、物を斜めに投げ上げたときに物体が描く軌跡といえばよいでしょうか。（だから、物理でやる斜方投射の式は y=v0t+1/2at2 で、2次関数形になっていますね）放物線の式は一般的に y=a... Study カレハ 2006-09-04T22:39:20+09:00
2次関数のグラフってどんな形をしているでしょうか･･･?
グラフの形を知りたければ、
y=x²
に数字を代入して
グラフ用紙に点を打ってみれば分かるので、知らないなら一度やってみることをお勧めします。

で、どのような形かというと
「放物線」　　です。
放物線は、物を斜めに投げ上げたときに物体が描く軌跡
といえばよいでしょうか。

（だから、物理でやる斜方投射の式は
y=v0t+1/2at² で、2次関数形になっていますね）

放物線の式は一般的に　y=ax²+bx+c (a≠0)
であらわされます。
この式が因数分解できるとすると、それは何を表すでしょう。

･･･ちょっと考えておいてください。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/22475025.html 日記感覚で、軽く書き込む用のPeace of Mind 数学塾別館なる物を作ってみました。ここでは書かない、お勧めの本とか、学校の数学とか書いていきたいと思いますので、ぜひどうぞ。 Info カレハ 2006-08-17T22:58:45+09:00
Peace of Mind 数学塾別館
なる物を作ってみました。

ここでは書かない、お勧めの本とか、
学校の数学とか書いていきたいと思いますので、
ぜひどうぞ。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/22460940.html 春学期は忙しかった･･･そして、夏休みになって引越し･･･今日やっとネット復活。実はいまいち準備が完了していませんが、更新しないのも申し訳ないのでこれから、関数をやっていくための下準備です。関数とは、数と数の関係を示したものです。写像と考えればよいのですが、写像は数Ｃでちょっとやるだけなので、覚えなくていいし、っていうか忘れてください。中学だと、一次関数とか言って y=2xみたいなものを書いていたと思うんですけど、一般的に、xとyの関係を示している、ということを y=f(x... Study カレハ 2006-08-17T16:28:04+09:00 そして、夏休みになって引越し･･･
今日やっとネット復活。
実はいまいち準備が完了していませんが、更新しないのも申し訳ないので
これから、関数をやっていくための下準備です。

関数とは、数と数の関係を示したものです。写像と考えればよいのですが、写像は数Ｃでちょっとやるだけなので、覚えなくていいし、っていうか忘れてください。
中学だと、一次関数とか言って
y=2x
みたいなものを書いていたと思うんですけど、
一般的に、
xとyの関係を示している、ということを　
y=f(x)
と書きます。
fは関数:functionのfです。

これは等式なので、y=f(x)=2x
と書いてしまっていいわけです。
なので、f(x)=2x　　としてよいです。
微分なんかでは、ほとんどこの書き方しかしないですね。

xは変数なので、色々変化させることができます。
ということで、f(x)のxも色々入れ替えてしまってよいのです。
x=3なら、f(3)=6
といった感じです。

関数は、上下、左右に無限に伸びているとは限りません。
「定義域」と「値域」があります。
定義域は、xが変化する範囲
値域は、yが変化する範囲　　のことです。

これからやる二次関数はf(x)=x²
のように、二次式であらわされる関数です。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/18559881.html 皆様こんにちは。そしてお久しぶりです。4月から大学生になりまして、本当に忙しい毎日を送っています。2月に更新をストップしてから、3ヶ月がたち止めるにやめられない現実と更新する時間がないという現実の間で揺れ動いています。本当は、何とか3年分のものを作り上げたいと思っているのですが、そう思うようには進まなくて、でも、更新しなくても月に900アクセスあるというこちらとしてはうれしい状況なので止めることもできず･･･なので、ちまちままたやろうかなぁとおもいます。ので、次の更新に向けて... Info カレハ 2006-05-29T19:23:22+09:00 そしてお久しぶりです。

4月から大学生になりまして、
本当に忙しい毎日を送っています。
2月に更新をストップしてから、3ヶ月がたち

止めるにやめられない現実
と
更新する時間がないという現実

の間で揺れ動いています。

本当は、何とか3年分のものを作り上げたいと思っているのですが、
そう思うようには進まなくて、
でも、更新しなくても月に900アクセスあるという
こちらとしてはうれしい状況なので
止めることもできず･･･

なので、ちまちままたやろうかなぁとおもいます。
ので、次の更新に向けて準備を始めましたので、
もうしばらくお待ちください。
ある程度のペースで更新できるようになったら、
更新をはじめたいと思います。

それまでの対策として、メールフォーム設置しましたので、
ご利用ください。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/13843725.html ご無沙汰しています。勝手ではありますが、諸事情によりしばらく更新を停止させていただきます。突然で申し訳ありませんが、ご理解ください。 Info カレハ 2006-02-26T23:10:33+09:00
勝手ではありますが、
諸事情によりしばらく更新を停止させていただきます。

突然で申し訳ありませんが、
ご理解ください。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/13208416.html オリンピックが始まって、テレビに困らないのは、うれしいなぁ。でも、IOCのホームページって、意外とつまんない…先週の続きってことで。たぶん、「連立方程式」ってやつは解いた事あると思います。式が2つあって、文字が1つか2つあって、両方の式を満たす数は何でしょうというやつ。とりあえず今の時点では1変数、1次の連立不等式をやりたいと思います。例)2x-5≧3 …(1)4x-5≦2x+5 …(2)これを、どちらも満たすxの範囲は・・・というと、両方を解いて、範囲がかぶるところと求める... Study カレハ 2006-02-13T00:19:13+09:00 テレビに困らないのは、うれしいなぁ。
でも、IOCのホームページって、意外とつまんない…

先週の続きってことで。

たぶん、「連立方程式」ってやつは解いた事あると思います。

式が2つあって、
文字が1つか2つあって、
両方の式を満たす数は何でしょう
というやつ。

とりあえず今の時点では
1変数、1次の連立不等式をやりたいと思います。

例)
2x-5≧3　…(1)
4x-5≦2x+5　…(2)

これを、どちらも満たすxの範囲は・・・
というと、
両方を解いて、範囲がかぶるところ
と求めるのが、分かりやすいでしょう。

(1)式を解くと、 x≧4
(2)式を解くと、 x≦5

(1)は｢4か4より大きい数｣
(2)は｢5か5より小さい数｣で満たすので、

答えは　4≦x≦5　　となります。

これは、｢かぶったところ」が答えになるので、
x(変数)の範囲が、重ならない場合は
解なし
ということになります。 ]]> http://math-study.seesaa.net/article/12840982.html ここのところトラブル続きで、週のほとんどを涙を流しながら過ごしていまして。でも、いい加減書き込まなきゃってことで不等式です。不等式というのは、左辺と右辺が同じではない方程式です。でも。同じ、って事も表せます。たとえば、2≦2 とか、この書き方は「あり」なのです。2≦2 というのは、 2は2より小さいか、等しい。を意味するからです。これが、方程式みたいに、なんだか分からない未知数を含んでいることがあります。今回は、それを解いてみます。 Study カレハ 2006-02-06T00:45:09+09:00 週のほとんどを涙を流しながら過ごしていまして。
でも、いい加減書き込まなきゃってことで
不等式です。

不等式というのは、
左辺と右辺が同じではない方程式です。
でも。同じ、って事も表せます。

たとえば、
2≦2　　とか、

この書き方は「あり」なのです。

2≦2　　というのは、
　　　2は2より小さいか、等しい。
を意味するからです。

これが、方程式みたいに、なんだか分からない未知数を含んでいることがあります。
今回は、それを解いてみます。 ]]>