2次関数の最大最小

1ヶ月ぶりになってしまいました･･･

2次関数の最大最小を求める問題って、高1だと良く出るんです。
夏休みに塾の夏期講習で、叩き込まれた覚えがあるのですが、
なんだかよく分からないくらい、この手の問題が解けるようになって、
おかげで、高1の間はちょっと成績がよかったかなぁ。。。
でも、講習中に一番前の席で寝て「ガクッ」となって、大きい音を立ててしまい、すごく恥ずかしい思いをした、余計な思い出もあります。
眠いときは、我慢しないで思い切り寝ましょう。

ここからが、本題。

2次関数は放物線の形をしています。
なので、y=ax²+bx+cの関数のyの値について、
関数全体を見たときは、
下に凸の形の場合は、頂点が最小、
上に凸の形の場合は、頂点が最大　　になります。

そして、
下に凸の形の場合は、最大値、
上に凸の形の場合は、最小値　　が存在しません。
グラフの形を見れば分かりますが、線は左右に広がり縦に伸び続けます。

なので、学校の問題で「最大値、最小値を求めよ｣と書いてあっても、
「そういう値はない」という結果になる可能性もあるわけです。
問われているなら、答えがあるはずだ
という考えは捨てましょう･･･。

しかしこんな問題では簡単なので、定義域(xの範囲)が決められていることがほとんどです。
これがまた厄介なのですが、今回は一番単純なパターンをまず考えて見ます。

問)次の関数の最大値と最小値を求めよ。
y=x²-2x+2
1)0≦x≦3
2)2≦x≦3

とりあえず、この関数が座標上でどの様な形をしているかを考えます。
y=x²-2x+2
=(x-1)²+1
つまり、頂点(1,1)で、下に凸のグラフです。

1)0≦x≦3のとき、
頂点(x=1)が含まれているので、このときのy値が最小値です。
このグラフは、頂点から距離が遠いほど大きい値をとります。
1→0より、1→3のほうが遠いので、
x=0よりx=3のときのほうが、大きい値をとります。
よって、
最大値　5　、　最小値　1　です。

2)2≦x≦3のとき、
頂点は含まれていません。
ということで、この範囲のxの値のとるyの値を比べなければいけないわけです。
しかし、このグラフは、頂点から距離が遠いほど大きい値をとる、ということから頂点 x=1　からの距離を考えれば、
最小値　x=2 のとき2 、最大値 x=3 のとき5
と、あれこれ計算しなくても、分かるわけです。

これなら単純に分かるのですが、
「高校数学のポイントは、場合分け」
といわれるように、ちょっとはっきりしないaとかbとかcみたいな
物が入ってくると、あんなとき、こんなとき･･･
といろいろな場合を考えないといけないわけです。
これが分かれば、高1の数学は頂きモノじゃないかと私は思うんですけどね。

二次関数の頂点の座標

何で中学高校のときは、分かりやすいことから応用していったのに、
大学の数学は抽象的なことから、具体的な話をするんだろう。
でも具体的なものより、n×n行列みたいな方が好きかな。

二次関数の頂点って、どうやったら分かるのというお話。

二次関数というのは、y=ax²を平行移動したものです。
（aは好きな数字)
このときの頂点の位置は(0,0)です。
では、これが(2,1)に移動したとします。
このとき、グラフ上の点は全部「右に2、上に1」移動したと考えられます。
y=ax²のグラフ上の点を一般的に(x,y)と書いてみると、
移動したあとのグラフの点は、x,yを使って、
(x-2,y-1)と書くことができます。
ここで、「何で??」と思った人は、下の文章を読んでみてください。
正の方向に移動したのに、何故引き算??と思ってしまった人へ。
移動したあとのグラフの座標をX,Yとすると、
x=X+2
y=Y+1
ということは、
X=x-2
Y=y-1
実はこれだけです。

これをy=ax²の、x,yと置き換えると、
y=a(x-2)²+1
となって、これが頂点(2,1)の二次関数の方程式です。
逆にたどっていくと、式から頂点の座標が分かる、ということが分かると思います。

平方完成とグラフの移動

平方完成ができるようになったところで、
グラフを書いてみましょう!!　というのが今回のテーマ。

二次関数の一番簡単な形(今後「基本の形」と言う事にします)は
y=x²です。
これは、頂点が原点にあって、下に凸、y軸対称
な放物線のグラフになるというのは、これまでで分かると思います。
(分からなければ書いてみるのが一番です。)

では、y=(x+2)²はどうなるでしょうか。
(前回の例(1)です。)
少し平面上に点を取ってみると、
x=0のときy=4
x=±1のときy=9
x=±2のときy=16
となり、基本の形の頂点をそのまま上のほうにずらしたものになります。
それっぽく言うなら、たとえば「y軸方向に+4平行移動」といえばいいでしょうか。「y軸正方向に4平行移動」でも同じことです。
「形が変わっていない」のも割と重要です。
形が変わってしまったら、平行移動ではなくなってしまうからです。
そして「どれだけ移動したか」＝「頂点がいくつ移動したか」
であることに注意しましょう。

ただ、いちいち点を取って、線で結ばないといけない、
というのは面倒なので、式を見てグラフが書けるようになりたいと思います。

今回はあまり内容がありませんでしたが、
長くなりすぎないために、ここで区切っておきます。

放物線の移動(平方完成)

一次関数が動けば、二次関数も動く。
そもそも、原点を通るグラフのほうが少ないわけです。
そんなことを考えながら、平方完成のお話。

平方完成は、二次式を
平方→何かの2乗の形
とその和や差に表現し直すことです。

上で書いた、何かの二乗の形、というのは具体的にいうと
(x+△)²
の形です。(xは変数、△は何でもいい)
平方完成したあとは、
xに係数がついていてはいけません。
では、
具体的に計算をしてみることにしましょう。

例)
1)y=x²+4x+4
2)y=x²+4x+7
3)y=2x²+4x+15

1)はこれまでにやってきたとおりのものです。
　y=x²+4x+4
　 =(x+2)²

2)は1と比べると+3したものになっているので･･･
　y=x²+4x+7
　 =(x+2)²+3
ただ単に3を足せばよいわけです。
無理やり、2乗にしようとしても無理なものは無理なのです。
そんなときは、あとで加えておけばよいわけです。

3)はさらに変形してあります。
この式から(x+△)²の形を導き出すためには
とりあえず、2乗の前の2をxから引き離してしまいましょう。
ただ、15は2で割ると分数になってしまうので、ここでは放っておきます。
分数ほど面倒なものはないですから。
　y=2x²+4x+15
　 =2(x²+2x)+15
次に、展開したらx²+2xのような形が出てくる
(x+△)²を考えて見ます。
(x+1)²
=x²+2x+1　…
ですね。
これを上の式と比べてみます。
　y=2x²+4x+15
　 =2(x²+2x)+15
　 =2(x²+2x+1)+15-2
()の中身を、で置き換えてみました。
そうすると、はじめより2大きくなってしまったので、
最後にその分を引いておきます。
最後にこれをまとめて、
答えは　y=2(x²+1)²+13

どうしたら、(x+△)²の形をすばやく判断できるのかというと、
私は、xの係数を見ています。
(x+△)²=x²+2△x+△²
なので、xの係数の1/2が△になっているのです。
あとは、余計なものを足したり引いたりして、
最終的に前後が同じになるように調節します。

これができるようになれば、
グラフィも簡単に書くことができます。

二次関数のグラフ(その2)

前回はあまり考えないで、記事を作ってしまったので、
今日は教科書を見ながら記事を書きます

二次関数で一番簡単なグラフは
y=ax²
です。
このグラフでは、放物線の一番とがったところ(「頂点」といいます)
が、原点Oを通ります。そして、y軸に関して左右対称です。

関数の問題で「二次関数である」と明記してある場合
y=ax²
のaは0ではありません。0だと二次の項がなくなってしまい、
二次関数ではなくなってしまうからです。
逆に何も書いていなかった場合は、二次関数でない場合も考えても良い
(または、考えなければいけない)ということです。

aは色々な数を取ることができるので、正の数の事も負の数の事もあります。
aが正の数の場合→放物線は下にとがった形(下に凸)
aが負の数の場合→放物線は上にとがった形(上に凸)です。

一次関数を上下に移動させることができたように、
二次関数も上下左右に移動させることができます。

二次関数を一般的な形で書くと
y=ax²+bx+c
となります。
二次関数のグラフを書くときの定石は、
「平方完成」というやつです。

多分それで記事一つ分かけるので、とりあえずここまで。

2次関数のグラフ（その1:中途半端に終わっています）

更新頻度が上がらなくて申し訳ありません。

2次関数のグラフってどんな形をしているでしょうか･･･?
グラフの形を知りたければ、
y=x²
に数字を代入して
グラフ用紙に点を打ってみれば分かるので、知らないなら一度やってみることをお勧めします。

で、どのような形かというと
「放物線」　　です。
放物線は、物を斜めに投げ上げたときに物体が描く軌跡
といえばよいでしょうか。

（だから、物理でやる斜方投射の式は
y=v0t+1/2at² で、2次関数形になっていますね）

放物線の式は一般的に　y=ax²+bx+c (a≠0)
であらわされます。
この式が因数分解できるとすると、それは何を表すでしょう。

･･･ちょっと考えておいてください。

二次関数−−その前に･･･

春学期は忙しかった･･･
そして、夏休みになって引越し･･･
今日やっとネット復活。
実はいまいち準備が完了していませんが、更新しないのも申し訳ないので
これから、関数をやっていくための下準備です。

関数とは、数と数の関係を示したものです。写像と考えればよいのですが、写像は数Ｃでちょっとやるだけなので、覚えなくていいし、っていうか忘れてください。
中学だと、一次関数とか言って
y=2x
みたいなものを書いていたと思うんですけど、
一般的に、
xとyの関係を示している、ということを　
y=f(x)
と書きます。
fは関数:functionのfです。

これは等式なので、y=f(x)=2x
と書いてしまっていいわけです。
なので、f(x)=2x　　としてよいです。
微分なんかでは、ほとんどこの書き方しかしないですね。

xは変数なので、色々変化させることができます。
ということで、f(x)のxも色々入れ替えてしまってよいのです。
x=3なら、f(3)=6
といった感じです。

関数は、上下、左右に無限に伸びているとは限りません。
「定義域」と「値域」があります。
定義域は、xが変化する範囲
値域は、yが変化する範囲　　のことです。

これからやる二次関数はf(x)=x²
のように、二次式であらわされる関数です。

連立不等式

オリンピックが始まって、
テレビに困らないのは、うれしいなぁ。
でも、IOCのホームページって、意外とつまんない…

先週の続きってことで。

たぶん、「連立方程式」ってやつは解いた事あると思います。

式が2つあって、
文字が1つか2つあって、
両方の式を満たす数は何でしょう
というやつ。

とりあえず今の時点では
1変数、1次の連立不等式をやりたいと思います。

例)
2x-5≧3　…(1)
4x-5≦2x+5　…(2)

これを、どちらも満たすxの範囲は・・・
というと、
両方を解いて、範囲がかぶるところ
と求めるのが、分かりやすいでしょう。

(1)式を解くと、 x≧4
(2)式を解くと、 x≦5

(1)は｢4か4より大きい数｣
(2)は｢5か5より小さい数｣で満たすので、

答えは　4≦x≦5　　となります。

これは、｢かぶったところ」が答えになるので、
x(変数)の範囲が、重ならない場合は
解なし
ということになります。

一次不等式

ここのところトラブル続きで、
週のほとんどを涙を流しながら過ごしていまして。
でも、いい加減書き込まなきゃってことで
不等式です。

不等式というのは、
左辺と右辺が同じではない方程式です。
でも。同じ、って事も表せます。

たとえば、
2≦2　　とか、

この書き方は「あり」なのです。

2≦2　　というのは、
　　　2は2より小さいか、等しい。
を意味するからです。

これが、方程式みたいに、なんだか分からない未知数を含んでいることがあります。
今回は、それを解いてみます。

続きを読む

二次方程式(超入門編)

二次方程式は
　簡単にできるもの　です。

解法としては、

・因数分解をする。
・解の公式を使う。
(因数分解できるものも、公式に当てはめると出てきます。)

コトをすれば解けます。

ただ、そのうち「解なし」というものも出てくるんですけどね･･･。
(最初は何！？って思った。)

今週は一番単純なパターンで、

因数分解してやればどうにかなるやつです。

例)(1)　x²+2x+1=0
　(2)　2x²+10x+12=0
　　
考え方としては、
　　
(1)x²+2x+1=0
⇔(x+1)²=0

　このとき、
　どうしたら、左辺が0になるのか･･･
　
　xに−1を入れると、(-1+1)²=0
　ということで、答えは x=-1

　因数分解をしたときに、
　カッコの中が0になれば、
　0に何をかけても 0　なので、
　それが、方程式の解になります。

　
(2)　2x²+10x+12=0
　　⇔2(x²+5x+6)=0
⇔2(x+3)(x+2)=0
よって解 x = -2 , -3 です。


二次方程式には、解が2つあります。(解があれば、の話)
しかし、(1)の場合は１つしかありません。
この解を「重解」(じゅうかい)といいます。


2つの解が一致しているので、ひとつしか書いていない


と考えればいいと思います。

なぜこんなことが起こるのかは、また今度。
放物線をやるときに･･･。

因数分解(最終回)

因数分解もいい加減飽きてきそうなので、
そろそろやめようと思います。
ということで、今回が最終回です。

いわゆる、「たすきがけ」ってやつです。
別に難しいとは思わないけれど、なんとなく

経験がものを言う

部分がある気がします。

組み合わせパズルみたいで、面白いんですけどね。

たすきがけって何？？

因数分解のひとつの方法で、
二次式の二次の項の頭に数字かくっついてるとき
にちょいと紙の端っこにちょっとした図を書くと間違いが減るかなー
ぐらいのものです。
基本的に、解答用紙に書くものではないし、(計算と同じ扱い)
書かなくたって構わないものではありますが、
書いときゃいいんじゃないの？
というお勧めのものです。

例)次の数式を因数分解してください。

1) 2x²+6x+10=
2) 2x²+5x+2=


解答)

1)は2でくくってしまえば、簡単にできます。
　　　2x²+12x+10
　　=2(x²+6x+5)
　　=2(x+1)(x+5)

2)は同じ方法で･･･と思うとできません。
先に解答を言ってしまうと、
こんな問題を見たときに、知っている人はこんな様なものを書きます。

　　　2　　1　−　1　
　　　1　　2　−　4
　　−−−−−−−−−
　　　2　　2　　　5

こんなものを見ると、
　　2x²+5x+2
　=(2x＋1)(x＋2)
と書くことができて、因数分解完了です。

何を表しているのか･･･？

さっき書いたものを見てどうして因数分解できるのか･･･。
まず、それぞれどこの数字を表しているのかというと
左からx²、定数項、x
の係数を表しています。

2次式を以下を展開したものとして考えると、
(分かりやすくするために、変数xを大文字にします)

(aX+b)(cX+d)=acX²+(ad+bc)X+bd

因数分解は展開の逆なので、今度は

　　　acX²+(ad+bc)X+bd

を因数分解することを考えます。このとき
X2の項は因数分解したときのXの係数の積、
定数項は(○x+▲)の▲の積なので

X²の項の係数と定数項の数を
うまく分解して組み合わせれば因数分解できる

ということなのです。

そこで、どう分解して、どう組み合わせるか、というのは
経験がものを言う、というわけです。

それで役に立つのがさっきの表にならない表で、

　　　a　　b　−　bc　
　　　c　　d　−　ad
　　−−−−−−−−−
　　　ac bd ad+bc 　　という関係になっています。
(文字の対応を良く比べてみてください。)

慣れないうちは、ひたすらこの表を使う練習をするといいと思います。
だんだん、暗算で済ませたりしますが、
テストのときはちゃんと書きます。

当たり前ですが、与えられた式が
　　　acX²+(ad+bc)X+bd
となっていなければ、これは使えません。
ただ、高校の範囲では、できないものは出てきません。
(因数分解の問題に限ります。
2次方程式の問題では因数分解ができないものが余裕で出てきます。)

来週からは、方程式とかにしようかな、と計画中です。

因数分解（その２）

また、一つずつ見ていきましょう、
ということで、次のパターン。

(1)x³+3x²+3x+1=
(2)x³+1=

今度は、３乗の公式たち、そのままなので、
(x+1)³
(x+1)(x²-x+1)
となります。
(2)は明らかですが、(1)はちょっといじくられると分からなくなってしまうので、きちんと見極めてから因数分解したほうがいいと思います。

ゆっくりとですが、９月もどうにか更新していきたいと思いますので、よろしくお願いします。
テストが終わるまでは、許してください。

問題の答え

指数法則の最後に出した問題の答えです。

(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)
=(x²-1)(x²+1)(x⁴+1)
=(x⁴-1)(x⁴+1)
=x⁸-1

(x+y)(x-y)(x²+xy+y²)(x²-xy+y²)
多項式の計算(展開その２)の答えの(2)参照・・・

=(x+y)(x²-xy+y²)(x-y)(x²+xy+y²)
=(x³+y³)(x³-y³)
=x⁶-y⁶

ちょっと、意地悪だったかもしれない・・・
少々反省。

因数分解

いい加減、本業のほうやりますか？？
はい、因数分解してみましょう。

因数分解しなさいといわれたら、それは
掛け算だけの形にすることです。
だから、"○＋○"を "2○"としなければいけません。
よくある説明としては、「展開の逆」ですね。
だから、公式とか一応あるけれど、ほとんどが、展開の公式の右辺と左辺を入れ替えたものなので、新しく覚えることはありません。
最後は、テクニックのみ☆です。

まぁ、今日ははじめなので、簡単なところから行きましょう。

問題：因数分解しましょう。
(1)3a+9b= (2)2a+2b+(a+b)²=

さて、基本的には、カッコで同じものをくくって、まとめると出来る、どういうことかというと・・・

答え：(1)3a+9b=3a+3×3b=3(a+3b)
(2)2a+2b+(a+b)²=2(a+b)+(a+b)(a+b)
=(a+b){2+(a+b)}=(a+b)(a+b+2)

どちらもまず、同じものを掛けていないかよく探して、
見つけたら、カッコの中に入れてみて、後は、掛け算の結果に矛盾のないようにしてあげる((2)なんかそんな感じするかな？)。
じゃぁ、どうしたら、2(a+b)+(a+b)(a+b)=(a+b){2+(a+b)}見たいな事が、ぱっとできるかというと、(a+b)というのが共通しているので、それを最初にイコールの隣に書いて、元の式から(a+b)を取り払うと、2+(a+b)が残るので、
それはそれで、またカッコに入れて、隣に書く、とあーら不思議(古い…)、因数分解が完了しています。
これは、一番初めにやった、展開のときの法則の3．バラバラにしても同じですよ法則(正式名称:分配法則)の逆です。確かに、展開の仕方によってはちゃんと、元に戻ります。

もう1つ行きましょう･･･

(3)x²+2x+1=

どこかで見たことある、と思えれば完璧。
分かれなければ、別にいいです。

(3)2乗の公式覚えてますか？ということで、
x²+2x+1=(x+1)²

因数分解、学校のテスト程度なら、
上みたいな2次式の形が多いです。(分からないけれど)
まだ、パターンがあるので、少しずつ見ていきたいと思います。

指数法則

久しぶりに、勉強しましょう・・・
というわけで、オリンピックを横目で見つつ、
指数法則。
ちょっとだけなので、すぐ終わります。
ちょっと、知ってると楽(かもしれない)。

2³=2×2×2=8
2²=2×2=4

ならば・・・
(1)2³×2²=
はいくつかを考えると、

2³×2²=32
計算を全部書くと・・・
2×2×2×2×2=32
つまり、
2³×2²
　　=2³⁺²
と書くことが出来るわけです。

(2)(2²)²=
カッコの中身は、2×2=4
これを2乗するので、4×4=16
4×4はもともと(2×2)×(2×2)だったわけです。
だから、
(2²)²=
2²⁺²
と同じです。

さて、展開とおさらばするために、
最後の2問です。

(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)=
(x+y)(x-y)(x²+xy+y²)(x²-xy+y²)=

多項式の計算(展開その２)の答え

忘れてました・・・

(1)３乗の展開の公式を作ってみましょう!
　(x+a)³
=x³+3x²a+3xa²+a³

(2)展開してみましょう。
(x+3)(x²-3x+9)=x³+27

でした。

多項式の計算(展開その3)

さぁ、今回で、展開は終わりにしましょう。
だって、展開は「掛けて、足す」(何度も言ってるけれど)別に勉強しなくたってやろうと思えば出来るからです。

と言うことで、最後は、展開を少しでも楽にするためのコツ。
というか、因数分解なんかで、必要になりそうなことです。

例：次の式を展開しましょう。
　　(1) (a+b+c)²=
　　(2) (a+b+3)(b+c+3)=

(1)は、こつこつ展開してください。
(2)は、簡単なやり方を考えられたらいいなぁ・・・。

ということで、答え。
(1) (a+b+c)²
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

(2) (a+b+3)(b+c+3)
={(b+3)+a}{(b+3)+c}
=(b+3)²+c(b+3)+a(b+3)+ac
=b²+6b+9+bc+3c+ab+3a+ac
b²+(a+c+6)b+3(a+c)+9+ac
上の行の式は、答え合わせするときに、見やすいかなぁ、と思ってのことで、答えではありません！！
間違っても、カッコでくくったりしないように!!

さぁ、(1)は、「3つの足し算の2乗」ですが、これは覚えておいても、損はしないと思います。
というか、ある種の問題で必要になります。

(2)は、同じ(b+3)というのがあるので、それをまとめてみると、ちょっと楽かなぁ。ただ、計算回数どちらにしろ多いので、間違えないように計算してください。

展開はこのくらいでおしまいにしたいと思います。
なんせ、きりがないけれど、もっと大事なこともあるので、後は、必要になったときにしましょう。

英単語ではないけれど、覚えたときに覚えれば、いい気がします。

ということで、今回はこれでおしまい。

多項式の計算(展開)の問題の答え

問題：次の多項式を展開してください。

(1) 3(x-4y)-6(2x+y-3)
　 =3x-12y-12x-6y+18
=-9x-18y+18

(2) x(4x+1)+{3(x+1)+2(x+2)}
=4x²+x+3x+3+2x+4
(中カッコがついていますが、無視しても、答えは同じです!!暇なら、試してみてください)
=x²+6x+7

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　でした。

多項式の計算(展開その2)

では、今回はもうちょっと進んだことをやろう、ということで、
早速ですが・・・

(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd
(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab
(x+a)(x-a)=x²-a²
(x+a)²=x²+2ax+a²

とりあえずこれだけ。
もうこれだけで訳が分かんないですね。
まだ、もうちょっとあるけれど、
絶対混ざるので、やめましょう・・・。

これら公式ですが、
参考書によっては、+バージョンの式と、−バージョンの式と分けて書いてあるものがあるけれど、
べっこに覚えたって、覚える物が増えるだけ、
なので、書きません。
ちゃんと、どういう計算をしているのかが分かれば、
「ここがマイナスになって・・・」
とか考える必要がなくなります。

その辺は、慣れ、とかそういう域だと思うので、
くどくど言わずに、やりましょう。

問題)公式を使わずに次の式を展開してみましょう
(1)(x+2)(x+3)= (2)(2a+1)(3a+2)=
(3)(y+1)²= (4)(x+2)(x-2)=

ひと通りやったら、公式を使ってやってみましょう。

なぜ公式があるのか・・・？
この辺は私の個人的な意見ですが、
展開は、とにかく掛けて掛けて、足して引けばどうにかなります。
テストで公式が分からなくなったら計算しまくる。
だから絶対「展開せよ」なーんて問題は、出来るんです。
でも、その分、計算をすぐ間違えやすくなります。
公式を見ると分かるように、公式を知っていれば、計算回数は減って、簡単なんです。
私は、数学で暗記はナンセンスーと思うけれど、
楽できるのであれば、覚えるに越したことはありません。
覚えるというより、体に叩き込む？
自然と手が動くようにになるといいですね。
それに、これは分かっていないと、因数分解で損をするかも。

さて、問題の答えですが、2回計算しているので、２つの答えが合えば正解でしょうが、一応書いておくと、
(1)x²+5x+6 (2)6a²+7a+2
(3)y²+2y+1 (4)x²-4

マイナスは書かないでおく、としましたが、
なぜか？
というと、そのまま計算すればいいんです。

例えば、(x+2)(x-1)=x²+(2-1)x+2×(-1)
　　　　　　　　　=x²+x-2
その他のものも同様。

では、宿題代わりの問題。
(1)３乗の展開の公式を作ってみましょう!
((x+a)³=???)
(2)展開してみましょう。
(x+3)(x²-3x+9)=??

では、今日はここまでー。

多項式の計算(展開)

まずは、すべての元となる計算からやっていくことにしましょう。
計算が出来ない→問題外(当然)
なので、少しでも自信がなければ、飛ばさずに読んでください。

多項式の展開

早速ですが、問題。
(1) a(a+1)= (2) 2x(3x+5)=
中学生でも出来る問題です。
紙に書いてやってみてください。

答えは、(1)a²+a (2)6x²+10x
出来ましたか？

さて、今どのように計算しましたか？
(1)について言えばおそらく・・・
a×aをやって a×1をやって、それぞれを足す、
ということを、機械的にやっていたと思います。

加法と乗法(足し算と掛け算)には、3つの法則があります。
(間違っていました!!地蔵菩薩さん、ありがとうございました!)
1．引っくり返しても同じですよ法則
　例) 1+3=3+1 2×5=5×2

2．相手を変えてもいいですよ法則
　例)　(2+3)+7=2+(3+7)　(6×8)×5=6×(8×5)

3．バラバラにしても同じですよ法則
　例)3×(10+5)=3×10+3×5

さっき自分がやったのは、どれかわかりますか？
3ですね。
一般的に1を交換法則、2を結合法則、3を分配法則
と言います。計算を少しでも楽にするために、これらをうまく利用することが大切です！
（実は、上にあがっているものは計算を楽にした例です。)

これは文字になっても同じです。

展開は基本的に、きっちり掛け算をしてあげて、
その後、足したり、引いたり出来るものは、それを計算してあげれば、完璧です。

問題：次の多項式を展開してください。

(1) 3(x-4y)-6(2x+y-3)=
(2) x(4x+1)+{3(x+1)+2(x+2)}=

{}(中カッコ)も使ってみましたが、順番を守りながら、掛け算をして、xの項、yの項で、足したり、引いたりしてください。
(ちなみに、同じ文字を持つ項を、同類項と言って、
同類項どうしで計算して、式をすっきりさせるとことを、
同類項をまとめる、と言ったりします。
「同類項をまとめなさい」なんて問題もあるので、覚えておいていいと思います。)

上の問題の答えは、次回の更新のときに・・・。
解くときはちゃんと、紙と鉛筆を持って、やってくださいね。

次回は、展開の公式を見てみたいと思います！！
2日後位にまた、書き込めたらいいなぁ・・・。

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参考にします。