2次関数の最大最小

1ヶ月ぶりになってしまいました･･･

2次関数の最大最小を求める問題って、高1だと良く出るんです。
夏休みに塾の夏期講習で、叩き込まれた覚えがあるのですが、
なんだかよく分からないくらい、この手の問題が解けるようになって、
おかげで、高1の間はちょっと成績がよかったかなぁ。。。
でも、講習中に一番前の席で寝て「ガクッ」となって、大きい音を立ててしまい、すごく恥ずかしい思いをした、余計な思い出もあります。
眠いときは、我慢しないで思い切り寝ましょう。

ここからが、本題。

2次関数は放物線の形をしています。
なので、y=ax²+bx+cの関数のyの値について、
関数全体を見たときは、
下に凸の形の場合は、頂点が最小、
上に凸の形の場合は、頂点が最大　　になります。

そして、
下に凸の形の場合は、最大値、
上に凸の形の場合は、最小値　　が存在しません。
グラフの形を見れば分かりますが、線は左右に広がり縦に伸び続けます。

なので、学校の問題で「最大値、最小値を求めよ｣と書いてあっても、
「そういう値はない」という結果になる可能性もあるわけです。
問われているなら、答えがあるはずだ
という考えは捨てましょう･･･。

しかしこんな問題では簡単なので、定義域(xの範囲)が決められていることがほとんどです。
これがまた厄介なのですが、今回は一番単純なパターンをまず考えて見ます。

問)次の関数の最大値と最小値を求めよ。
y=x²-2x+2
1)0≦x≦3
2)2≦x≦3

とりあえず、この関数が座標上でどの様な形をしているかを考えます。
y=x²-2x+2
=(x-1)²+1
つまり、頂点(1,1)で、下に凸のグラフです。

1)0≦x≦3のとき、
頂点(x=1)が含まれているので、このときのy値が最小値です。
このグラフは、頂点から距離が遠いほど大きい値をとります。
1→0より、1→3のほうが遠いので、
x=0よりx=3のときのほうが、大きい値をとります。
よって、
最大値　5　、　最小値　1　です。

2)2≦x≦3のとき、
頂点は含まれていません。
ということで、この範囲のxの値のとるyの値を比べなければいけないわけです。
しかし、このグラフは、頂点から距離が遠いほど大きい値をとる、ということから頂点 x=1　からの距離を考えれば、
最小値　x=2 のとき2 、最大値 x=3 のとき5
と、あれこれ計算しなくても、分かるわけです。

これなら単純に分かるのですが、
「高校数学のポイントは、場合分け」
といわれるように、ちょっとはっきりしないaとかbとかcみたいな
物が入ってくると、あんなとき、こんなとき･･･
といろいろな場合を考えないといけないわけです。
これが分かれば、高1の数学は頂きモノじゃないかと私は思うんですけどね。