放物線の移動(平方完成)

一次関数が動けば、二次関数も動く。
そもそも、原点を通るグラフのほうが少ないわけです。
そんなことを考えながら、平方完成のお話。

平方完成は、二次式を
平方→何かの2乗の形
とその和や差に表現し直すことです。

上で書いた、何かの二乗の形、というのは具体的にいうと
(x+△)²
の形です。(xは変数、△は何でもいい)
平方完成したあとは、
xに係数がついていてはいけません。
では、
具体的に計算をしてみることにしましょう。

例)
1)y=x²+4x+4
2)y=x²+4x+7
3)y=2x²+4x+15

1)はこれまでにやってきたとおりのものです。
　y=x²+4x+4
　 =(x+2)²

2)は1と比べると+3したものになっているので･･･
　y=x²+4x+7
　 =(x+2)²+3
ただ単に3を足せばよいわけです。
無理やり、2乗にしようとしても無理なものは無理なのです。
そんなときは、あとで加えておけばよいわけです。

3)はさらに変形してあります。
この式から(x+△)²の形を導き出すためには
とりあえず、2乗の前の2をxから引き離してしまいましょう。
ただ、15は2で割ると分数になってしまうので、ここでは放っておきます。
分数ほど面倒なものはないですから。
　y=2x²+4x+15
　 =2(x²+2x)+15
次に、展開したらx²+2xのような形が出てくる
(x+△)²を考えて見ます。
(x+1)²
=x²+2x+1　…
ですね。
これを上の式と比べてみます。
　y=2x²+4x+15
　 =2(x²+2x)+15
　 =2(x²+2x+1)+15-2
()の中身を、で置き換えてみました。
そうすると、はじめより2大きくなってしまったので、
最後にその分を引いておきます。
最後にこれをまとめて、
答えは　y=2(x²+1)²+13

どうしたら、(x+△)²の形をすばやく判断できるのかというと、
私は、xの係数を見ています。
(x+△)²=x²+2△x+△²
なので、xの係数の1/2が△になっているのです。
あとは、余計なものを足したり引いたりして、
最終的に前後が同じになるように調節します。

これができるようになれば、
グラフィも簡単に書くことができます。