平方完成とグラフの移動

平方完成ができるようになったところで、
グラフを書いてみましょう!!　というのが今回のテーマ。

二次関数の一番簡単な形(今後「基本の形」と言う事にします)は
y=x²です。
これは、頂点が原点にあって、下に凸、y軸対称
な放物線のグラフになるというのは、これまでで分かると思います。
(分からなければ書いてみるのが一番です。)

では、y=(x+2)²はどうなるでしょうか。
(前回の例(1)です。)
少し平面上に点を取ってみると、
x=0のときy=4
x=±1のときy=9
x=±2のときy=16
となり、基本の形の頂点をそのまま上のほうにずらしたものになります。
それっぽく言うなら、たとえば「y軸方向に+4平行移動」といえばいいでしょうか。「y軸正方向に4平行移動」でも同じことです。
「形が変わっていない」のも割と重要です。
形が変わってしまったら、平行移動ではなくなってしまうからです。
そして「どれだけ移動したか」＝「頂点がいくつ移動したか」
であることに注意しましょう。

ただ、いちいち点を取って、線で結ばないといけない、
というのは面倒なので、式を見てグラフが書けるようになりたいと思います。

今回はあまり内容がありませんでしたが、
長くなりすぎないために、ここで区切っておきます。

別館のお知らせ。

8/17にお知らせした別館が、
「別館:数学塾」
という名前で、アメーバに移動させることにしました。
記事を移動させているところです。
新しいアドレスは、http://ameblo.jp/mathematik/

ちなみに、"Mathematik"はドイツ語で数学という意味です。
英語と似てますね。

放物線の移動(平方完成)

一次関数が動けば、二次関数も動く。
そもそも、原点を通るグラフのほうが少ないわけです。
そんなことを考えながら、平方完成のお話。

平方完成は、二次式を
平方→何かの2乗の形
とその和や差に表現し直すことです。

上で書いた、何かの二乗の形、というのは具体的にいうと
(x+△)²
の形です。(xは変数、△は何でもいい)
平方完成したあとは、
xに係数がついていてはいけません。
では、
具体的に計算をしてみることにしましょう。

例)
1)y=x²+4x+4
2)y=x²+4x+7
3)y=2x²+4x+15

1)はこれまでにやってきたとおりのものです。
　y=x²+4x+4
　 =(x+2)²

2)は1と比べると+3したものになっているので･･･
　y=x²+4x+7
　 =(x+2)²+3
ただ単に3を足せばよいわけです。
無理やり、2乗にしようとしても無理なものは無理なのです。
そんなときは、あとで加えておけばよいわけです。

3)はさらに変形してあります。
この式から(x+△)²の形を導き出すためには
とりあえず、2乗の前の2をxから引き離してしまいましょう。
ただ、15は2で割ると分数になってしまうので、ここでは放っておきます。
分数ほど面倒なものはないですから。
　y=2x²+4x+15
　 =2(x²+2x)+15
次に、展開したらx²+2xのような形が出てくる
(x+△)²を考えて見ます。
(x+1)²
=x²+2x+1　…
ですね。
これを上の式と比べてみます。
　y=2x²+4x+15
　 =2(x²+2x)+15
　 =2(x²+2x+1)+15-2
()の中身を、で置き換えてみました。
そうすると、はじめより2大きくなってしまったので、
最後にその分を引いておきます。
最後にこれをまとめて、
答えは　y=2(x²+1)²+13

どうしたら、(x+△)²の形をすばやく判断できるのかというと、
私は、xの係数を見ています。
(x+△)²=x²+2△x+△²
なので、xの係数の1/2が△になっているのです。
あとは、余計なものを足したり引いたりして、
最終的に前後が同じになるように調節します。

これができるようになれば、
グラフィも簡単に書くことができます。

二次関数のグラフ(その2)

前回はあまり考えないで、記事を作ってしまったので、
今日は教科書を見ながら記事を書きます

二次関数で一番簡単なグラフは
y=ax²
です。
このグラフでは、放物線の一番とがったところ(「頂点」といいます)
が、原点Oを通ります。そして、y軸に関して左右対称です。

関数の問題で「二次関数である」と明記してある場合
y=ax²
のaは0ではありません。0だと二次の項がなくなってしまい、
二次関数ではなくなってしまうからです。
逆に何も書いていなかった場合は、二次関数でない場合も考えても良い
(または、考えなければいけない)ということです。

aは色々な数を取ることができるので、正の数の事も負の数の事もあります。
aが正の数の場合→放物線は下にとがった形(下に凸)
aが負の数の場合→放物線は上にとがった形(上に凸)です。

一次関数を上下に移動させることができたように、
二次関数も上下左右に移動させることができます。

二次関数を一般的な形で書くと
y=ax²+bx+c
となります。
二次関数のグラフを書くときの定石は、
「平方完成」というやつです。

多分それで記事一つ分かけるので、とりあえずここまで。

2次関数のグラフ（その1:中途半端に終わっています）

更新頻度が上がらなくて申し訳ありません。

2次関数のグラフってどんな形をしているでしょうか･･･?
グラフの形を知りたければ、
y=x²
に数字を代入して
グラフ用紙に点を打ってみれば分かるので、知らないなら一度やってみることをお勧めします。

で、どのような形かというと
「放物線」　　です。
放物線は、物を斜めに投げ上げたときに物体が描く軌跡
といえばよいでしょうか。

（だから、物理でやる斜方投射の式は
y=v0t+1/2at² で、2次関数形になっていますね）

放物線の式は一般的に　y=ax²+bx+c (a≠0)
であらわされます。
この式が因数分解できるとすると、それは何を表すでしょう。

･･･ちょっと考えておいてください。