因数分解（その２）

また、一つずつ見ていきましょう、
ということで、次のパターン。

(1)x³+3x²+3x+1=
(2)x³+1=

今度は、３乗の公式たち、そのままなので、
(x+1)³
(x+1)(x²-x+1)
となります。
(2)は明らかですが、(1)はちょっといじくられると分からなくなってしまうので、きちんと見極めてから因数分解したほうがいいと思います。

ゆっくりとですが、９月もどうにか更新していきたいと思いますので、よろしくお願いします。
テストが終わるまでは、許してください。

問題の答え

指数法則の最後に出した問題の答えです。

(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)
=(x²-1)(x²+1)(x⁴+1)
=(x⁴-1)(x⁴+1)
=x⁸-1

(x+y)(x-y)(x²+xy+y²)(x²-xy+y²)
多項式の計算(展開その２)の答えの(2)参照・・・

=(x+y)(x²-xy+y²)(x-y)(x²+xy+y²)
=(x³+y³)(x³-y³)
=x⁶-y⁶

ちょっと、意地悪だったかもしれない・・・
少々反省。

因数分解

いい加減、本業のほうやりますか？？
はい、因数分解してみましょう。

因数分解しなさいといわれたら、それは
掛け算だけの形にすることです。
だから、"○＋○"を "2○"としなければいけません。
よくある説明としては、「展開の逆」ですね。
だから、公式とか一応あるけれど、ほとんどが、展開の公式の右辺と左辺を入れ替えたものなので、新しく覚えることはありません。
最後は、テクニックのみ☆です。

まぁ、今日ははじめなので、簡単なところから行きましょう。

問題：因数分解しましょう。
(1)3a+9b= (2)2a+2b+(a+b)²=

さて、基本的には、カッコで同じものをくくって、まとめると出来る、どういうことかというと・・・

答え：(1)3a+9b=3a+3×3b=3(a+3b)
(2)2a+2b+(a+b)²=2(a+b)+(a+b)(a+b)
=(a+b){2+(a+b)}=(a+b)(a+b+2)

どちらもまず、同じものを掛けていないかよく探して、
見つけたら、カッコの中に入れてみて、後は、掛け算の結果に矛盾のないようにしてあげる((2)なんかそんな感じするかな？)。
じゃぁ、どうしたら、2(a+b)+(a+b)(a+b)=(a+b){2+(a+b)}見たいな事が、ぱっとできるかというと、(a+b)というのが共通しているので、それを最初にイコールの隣に書いて、元の式から(a+b)を取り払うと、2+(a+b)が残るので、
それはそれで、またカッコに入れて、隣に書く、とあーら不思議(古い…)、因数分解が完了しています。
これは、一番初めにやった、展開のときの法則の3．バラバラにしても同じですよ法則(正式名称:分配法則)の逆です。確かに、展開の仕方によってはちゃんと、元に戻ります。

もう1つ行きましょう･･･

(3)x²+2x+1=

どこかで見たことある、と思えれば完璧。
分かれなければ、別にいいです。

(3)2乗の公式覚えてますか？ということで、
x²+2x+1=(x+1)²

因数分解、学校のテスト程度なら、
上みたいな2次式の形が多いです。(分からないけれど)
まだ、パターンがあるので、少しずつ見ていきたいと思います。

指数法則

久しぶりに、勉強しましょう・・・
というわけで、オリンピックを横目で見つつ、
指数法則。
ちょっとだけなので、すぐ終わります。
ちょっと、知ってると楽(かもしれない)。

2³=2×2×2=8
2²=2×2=4

ならば・・・
(1)2³×2²=
はいくつかを考えると、

2³×2²=32
計算を全部書くと・・・
2×2×2×2×2=32
つまり、
2³×2²
　　=2³⁺²
と書くことが出来るわけです。

(2)(2²)²=
カッコの中身は、2×2=4
これを2乗するので、4×4=16
4×4はもともと(2×2)×(2×2)だったわけです。
だから、
(2²)²=
2²⁺²
と同じです。

さて、展開とおさらばするために、
最後の2問です。

(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)=
(x+y)(x-y)(x²+xy+y²)(x²-xy+y²)=

多項式の計算(展開その２)の答え

忘れてました・・・

(1)３乗の展開の公式を作ってみましょう!
　(x+a)³
=x³+3x²a+3xa²+a³

(2)展開してみましょう。
(x+3)(x²-3x+9)=x³+27

でした。

多項式の計算(展開その3)

さぁ、今回で、展開は終わりにしましょう。
だって、展開は「掛けて、足す」(何度も言ってるけれど)別に勉強しなくたってやろうと思えば出来るからです。

と言うことで、最後は、展開を少しでも楽にするためのコツ。
というか、因数分解なんかで、必要になりそうなことです。

例：次の式を展開しましょう。
　　(1) (a+b+c)²=
　　(2) (a+b+3)(b+c+3)=

(1)は、こつこつ展開してください。
(2)は、簡単なやり方を考えられたらいいなぁ・・・。

ということで、答え。
(1) (a+b+c)²
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

(2) (a+b+3)(b+c+3)
={(b+3)+a}{(b+3)+c}
=(b+3)²+c(b+3)+a(b+3)+ac
=b²+6b+9+bc+3c+ab+3a+ac
b²+(a+c+6)b+3(a+c)+9+ac
上の行の式は、答え合わせするときに、見やすいかなぁ、と思ってのことで、答えではありません！！
間違っても、カッコでくくったりしないように!!

さぁ、(1)は、「3つの足し算の2乗」ですが、これは覚えておいても、損はしないと思います。
というか、ある種の問題で必要になります。

(2)は、同じ(b+3)というのがあるので、それをまとめてみると、ちょっと楽かなぁ。ただ、計算回数どちらにしろ多いので、間違えないように計算してください。

展開はこのくらいでおしまいにしたいと思います。
なんせ、きりがないけれど、もっと大事なこともあるので、後は、必要になったときにしましょう。

英単語ではないけれど、覚えたときに覚えれば、いい気がします。

ということで、今回はこれでおしまい。

多項式の計算(展開)の問題の答え

問題：次の多項式を展開してください。

(1) 3(x-4y)-6(2x+y-3)
　 =3x-12y-12x-6y+18
=-9x-18y+18

(2) x(4x+1)+{3(x+1)+2(x+2)}
=4x²+x+3x+3+2x+4
(中カッコがついていますが、無視しても、答えは同じです!!暇なら、試してみてください)
=x²+6x+7

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　でした。

多項式の計算(展開その2)

では、今回はもうちょっと進んだことをやろう、ということで、
早速ですが・・・

(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd
(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab
(x+a)(x-a)=x²-a²
(x+a)²=x²+2ax+a²

とりあえずこれだけ。
もうこれだけで訳が分かんないですね。
まだ、もうちょっとあるけれど、
絶対混ざるので、やめましょう・・・。

これら公式ですが、
参考書によっては、+バージョンの式と、−バージョンの式と分けて書いてあるものがあるけれど、
べっこに覚えたって、覚える物が増えるだけ、
なので、書きません。
ちゃんと、どういう計算をしているのかが分かれば、
「ここがマイナスになって・・・」
とか考える必要がなくなります。

その辺は、慣れ、とかそういう域だと思うので、
くどくど言わずに、やりましょう。

問題)公式を使わずに次の式を展開してみましょう
(1)(x+2)(x+3)= (2)(2a+1)(3a+2)=
(3)(y+1)²= (4)(x+2)(x-2)=

ひと通りやったら、公式を使ってやってみましょう。

なぜ公式があるのか・・・？
この辺は私の個人的な意見ですが、
展開は、とにかく掛けて掛けて、足して引けばどうにかなります。
テストで公式が分からなくなったら計算しまくる。
だから絶対「展開せよ」なーんて問題は、出来るんです。
でも、その分、計算をすぐ間違えやすくなります。
公式を見ると分かるように、公式を知っていれば、計算回数は減って、簡単なんです。
私は、数学で暗記はナンセンスーと思うけれど、
楽できるのであれば、覚えるに越したことはありません。
覚えるというより、体に叩き込む？
自然と手が動くようにになるといいですね。
それに、これは分かっていないと、因数分解で損をするかも。

さて、問題の答えですが、2回計算しているので、２つの答えが合えば正解でしょうが、一応書いておくと、
(1)x²+5x+6 (2)6a²+7a+2
(3)y²+2y+1 (4)x²-4

マイナスは書かないでおく、としましたが、
なぜか？
というと、そのまま計算すればいいんです。

例えば、(x+2)(x-1)=x²+(2-1)x+2×(-1)
　　　　　　　　　=x²+x-2
その他のものも同様。

では、宿題代わりの問題。
(1)３乗の展開の公式を作ってみましょう!
((x+a)³=???)
(2)展開してみましょう。
(x+3)(x²-3x+9)=??

では、今日はここまでー。

多項式の計算(展開)

まずは、すべての元となる計算からやっていくことにしましょう。
計算が出来ない→問題外(当然)
なので、少しでも自信がなければ、飛ばさずに読んでください。

多項式の展開

早速ですが、問題。
(1) a(a+1)= (2) 2x(3x+5)=
中学生でも出来る問題です。
紙に書いてやってみてください。

答えは、(1)a²+a (2)6x²+10x
出来ましたか？

さて、今どのように計算しましたか？
(1)について言えばおそらく・・・
a×aをやって a×1をやって、それぞれを足す、
ということを、機械的にやっていたと思います。

加法と乗法(足し算と掛け算)には、3つの法則があります。
(間違っていました!!地蔵菩薩さん、ありがとうございました!)
1．引っくり返しても同じですよ法則
　例) 1+3=3+1 2×5=5×2

2．相手を変えてもいいですよ法則
　例)　(2+3)+7=2+(3+7)　(6×8)×5=6×(8×5)

3．バラバラにしても同じですよ法則
　例)3×(10+5)=3×10+3×5

さっき自分がやったのは、どれかわかりますか？
3ですね。
一般的に1を交換法則、2を結合法則、3を分配法則
と言います。計算を少しでも楽にするために、これらをうまく利用することが大切です！
（実は、上にあがっているものは計算を楽にした例です。)

これは文字になっても同じです。

展開は基本的に、きっちり掛け算をしてあげて、
その後、足したり、引いたり出来るものは、それを計算してあげれば、完璧です。

問題：次の多項式を展開してください。

(1) 3(x-4y)-6(2x+y-3)=
(2) x(4x+1)+{3(x+1)+2(x+2)}=

{}(中カッコ)も使ってみましたが、順番を守りながら、掛け算をして、xの項、yの項で、足したり、引いたりしてください。
(ちなみに、同じ文字を持つ項を、同類項と言って、
同類項どうしで計算して、式をすっきりさせるとことを、
同類項をまとめる、と言ったりします。
「同類項をまとめなさい」なんて問題もあるので、覚えておいていいと思います。)

上の問題の答えは、次回の更新のときに・・・。
解くときはちゃんと、紙と鉛筆を持って、やってくださいね。

次回は、展開の公式を見てみたいと思います！！
2日後位にまた、書き込めたらいいなぁ・・・。

感想、その他、コメントいただけるとうれしいです。
参考にします。

Who is カレハ?

まずはじめに、カレハについて紹介します。
　
名前** カレハ(たまに変える)
年齢**19歳
大学生2年目・・・理工学部数理科学科。
画数が多くて、書くのが面倒。大学名が入るともっと大変

その他**
語学が不得意。
(現代文の授業に中学生にして躓いた。英語もボロボロ。
そのことを理由にしてセンター試験をやめ、私大に絞り、神の悪戯で今の学校に収まり、留年せずにここまで至る。)

大学に入り、自分より頭のいい人間がここまで多いものかと驚く。
数学は、本当に天才的な人がいます!!
最近は開き直って、色々なことに恥もへったくりもなくなってくる。

人に頼られることがすき、
人と共有できること、通じ合えることがすき、
コミュニケーションを常にほしがっていますので、
どうでもいいコメントとかもください。
　　　
　皆さんとつながっていけますように☆☆