2007年05月03日

メールのお返事

メールは見ますので、質問などあったらどうぞ。
数学のこととか、(大学での数学のことは目下勉強中ですから・・・パス)
勉強の仕方とか(定期試験の点数だけはよかったんで)、
うちの大学のこととか(川崎市と横浜市の市の境目辺りにあります・・・)

きちんと頂いた限りは、きちんとお返事をさせていただきます。
(メールではなく、ブログ上で返事をさせてください。)メールの返信
posted by カレハ at 23:57| Comment(34) | TrackBack(0) | Info | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

半年振りです。

気がつけば春、でした。
丁度、半年振りの投稿になります。
別に、私が死んでいたわけでも、
このブログを捨てたわけでもありません。
ただ「なんとなく」で生きているので、
ブログも「なんとなく」となってしまうわけで・・・

というか、メールを頂きまして、
また、やれそうならやるか。。。という気になったので、
近々また始めたいなぁ、と思った次第です。

ただ、自分の数学の勉強でややいっぱいな部分があるので、
どこまで軌道に乗るかは、モチベーション次第かな?
posted by カレハ at 23:26| Comment(0) | TrackBack(0) | Info | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年11月04日

2次関数の最大最小

1ヶ月ぶりになってしまいました・・・

2次関数の最大最小を求める問題って、高1だと良く出るんです。
夏休みに塾の夏期講習で、叩き込まれた覚えがあるのですが、
なんだかよく分からないくらい、この手の問題が解けるようになって、
おかげで、高1の間はちょっと成績がよかったかなぁ。。。
でも、講習中に一番前の席で寝て「ガクッ」となって、大きい音を立ててしまい、すごく恥ずかしい思いをした、余計な思い出もあります。
眠いときは、我慢しないで思い切り寝ましょう。

ここからが、本題。

2次関数は放物線の形をしています。
なので、y=ax2+bx+cの関数のyの値について、
関数全体を見たときは、
下に凸の形の場合は、頂点が最小、
上に凸の形の場合は、頂点が最大  になります。

そして、
下に凸の形の場合は、最大値、
上に凸の形の場合は、最小値  が存在しません。
グラフの形を見れば分かりますが、線は左右に広がり縦に伸び続けます。

なので、学校の問題で「最大値、最小値を求めよ」と書いてあっても、
「そういう値はない」という結果になる可能性もあるわけです。
問われているなら、答えがあるはずだ
という考えは捨てましょう・・・。

しかしこんな問題では簡単なので、定義域(xの範囲)が決められていることがほとんどです。
これがまた厄介なのですが、今回は一番単純なパターンをまず考えて見ます。

問)次の関数の最大値と最小値を求めよ。
y=x2-2x+2
1)0≦x≦3
2)2≦x≦3

とりあえず、この関数が座標上でどの様な形をしているかを考えます。
y=x2-2x+2
=(x-1)2+1
つまり、頂点(1,1)で、下に凸のグラフです。

1)0≦x≦3のとき、
頂点(x=1)が含まれているので、このときのy値が最小値です。
このグラフは、頂点から距離が遠いほど大きい値をとります。
1→0より、1→3のほうが遠いので、
x=0よりx=3のときのほうが、大きい値をとります。
よって、
最大値 5 、 最小値 1 です。

2)2≦x≦3のとき、
頂点は含まれていません。
ということで、この範囲のxの値のとるyの値を比べなければいけないわけです。
しかし、このグラフは、頂点から距離が遠いほど大きい値をとる、ということから頂点 x=1 からの距離を考えれば、
最小値 x=2 のとき2 、最大値 x=3 のとき5
と、あれこれ計算しなくても、分かるわけです。

これなら単純に分かるのですが、
「高校数学のポイントは、場合分け」
といわれるように、ちょっとはっきりしないaとかbとかcみたいな
物が入ってくると、あんなとき、こんなとき・・・
といろいろな場合を考えないといけないわけです。
これが分かれば、高1の数学は頂きモノじゃないかと私は思うんですけどね。
posted by カレハ at 00:38| Comment(1) | TrackBack(0) | Study | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年10月04日

二次関数の頂点の座標

何で中学高校のときは、分かりやすいことから応用していったのに、
大学の数学は抽象的なことから、具体的な話をするんだろう。
でも具体的なものより、n×n行列みたいな方が好きかな。

二次関数の頂点って、どうやったら分かるのというお話。

二次関数というのは、y=ax2を平行移動したものです。
(aは好きな数字)
このときの頂点の位置は(0,0)です。
では、これが(2,1)に移動したとします。
このとき、グラフ上の点は全部「右に2、上に1」移動したと考えられます。
y=ax2のグラフ上の点を一般的に(x,y)と書いてみると、
移動したあとのグラフの点は、x,yを使って、
(x-2,y-1)と書くことができます。
ここで、「何で??」と思った人は、下の文章を読んでみてください。
正の方向に移動したのに、何故引き算??と思ってしまった人へ。
移動したあとのグラフの座標をX,Yとすると、
x=X+2
y=Y+1
ということは、
X=x-2
Y=y-1
実はこれだけです。

これをy=ax2の、x,yと置き換えると、
y=a(x-2)2+1
となって、これが頂点(2,1)の二次関数の方程式です。
逆にたどっていくと、式から頂点の座標が分かる、ということが分かると思います。
posted by カレハ at 23:10| Comment(0) | TrackBack(1) | Study | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年09月17日

平方完成とグラフの移動

平方完成ができるようになったところで、
グラフを書いてみましょう!! というのが今回のテーマ。

二次関数の一番簡単な形(今後「基本の形」と言う事にします)は
y=x2です。
これは、頂点が原点にあって、下に凸、y軸対称
な放物線のグラフになるというのは、これまでで分かると思います。
(分からなければ書いてみるのが一番です。)

では、y=(x+2)2はどうなるでしょうか。
(前回の例(1)です。)
少し平面上に点を取ってみると、
x=0のときy=4
x=±1のときy=9
x=±2のときy=16
となり、基本の形の頂点をそのまま上のほうにずらしたものになります。
それっぽく言うなら、たとえば「y軸方向に+4平行移動」といえばいいでしょうか。「y軸正方向に4平行移動」でも同じことです。
「形が変わっていない」のも割と重要です。
形が変わってしまったら、平行移動ではなくなってしまうからです。
そして「どれだけ移動したか」=「頂点がいくつ移動したか」
であることに注意しましょう。

ただ、いちいち点を取って、線で結ばないといけない、
というのは面倒なので、式を見てグラフが書けるようになりたいと思います。

今回はあまり内容がありませんでしたが、
長くなりすぎないために、ここで区切っておきます。
posted by カレハ at 00:37| Comment(0) | TrackBack(0) | Study | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年09月16日

別館のお知らせ。

8/17にお知らせした別館が、
別館:数学塾
という名前で、アメーバに移動させることにしました。
記事を移動させているところです。
新しいアドレスは、http://ameblo.jp/mathematik/

ちなみに、"Mathematik"はドイツ語で数学という意味です。
英語と似てますね。
posted by カレハ at 01:46| Comment(0) | TrackBack(0) | Info | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年09月12日

放物線の移動(平方完成)

一次関数が動けば、二次関数も動く。
そもそも、原点を通るグラフのほうが少ないわけです。
そんなことを考えながら、平方完成のお話。

平方完成は、二次式を
平方→何かの2乗の形
とその和や差に表現し直すことです。

上で書いた、何かの二乗の形、というのは具体的にいうと
(x+△)2
の形です。(xは変数、△は何でもいい)
平方完成したあとは、
xに係数がついていてはいけません。
では、
具体的に計算をしてみることにしましょう。

例)
1)y=x2+4x+4
2)y=x2+4x+7
3)y=2x2+4x+15

1)はこれまでにやってきたとおりのものです。
 y=x2+4x+4
  =(x+2)2

2)は1と比べると+3したものになっているので・・・
 y=x2+4x+7
  =(x+2)2+3
ただ単に3を足せばよいわけです。
無理やり、2乗にしようとしても無理なものは無理なのです。
そんなときは、あとで加えておけばよいわけです。

3)はさらに変形してあります。
この式から(x+△)2の形を導き出すためには
とりあえず、2乗の前の2をxから引き離してしまいましょう。
ただ、15は2で割ると分数になってしまうので、ここでは放っておきます。
分数ほど面倒なものはないですから。
 y=2x2+4x+15
  =2(x2+2x)+15
次に、展開したらx2+2xのような形が出てくる
(x+△)2を考えて見ます。
(x+1)2
=x2+2x+1 …位置情報
ですね。
これを上の式と比べてみます。
 y=2x2+4x+15
  =2(x2+2x)+15
  =2(x2+2x+1)+15-2
()の中身を、位置情報で置き換えてみました。
そうすると、はじめより2大きくなってしまったので、
最後にその分を引いておきます。
最後にこれをまとめて、
答えは y=2(x2+1)2+13

どうしたら、(x+△)2の形をすばやく判断できるのかというと、
私は、xの係数を見ています。
(x+△)2=x2+2△x+△2
なので、xの係数の1/2が△になっているのです。
あとは、余計なものを足したり引いたりして、
最終的に前後が同じになるように調節します。

これができるようになれば、
グラフィも簡単に書くことができます。
posted by カレハ at 18:26| Comment(0) | TrackBack(2) | Study | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年09月09日

二次関数のグラフ(その2)

前回はあまり考えないで、記事を作ってしまったので、
今日は教科書を見ながら記事を書きますたらーっ(汗)

二次関数で一番簡単なグラフは
y=ax2
です。
このグラフでは、放物線の一番とがったところ(「頂点」といいます)
が、原点Oを通ります。そして、y軸に関して左右対称です。

関数の問題で「二次関数である」と明記してある場合
y=ax2
のaは0ではありません。0だと二次の項がなくなってしまい、
二次関数ではなくなってしまうからです。
逆に何も書いていなかった場合は、二次関数でない場合も考えても良い
(または、考えなければいけない)ということです。

aは色々な数を取ることができるので、正の数の事も負の数の事もあります。
aが正の数の場合→放物線は下にとがった形(下に凸)
aが負の数の場合→放物線は上にとがった形(上に凸)です。

一次関数を上下に移動させることができたように、
二次関数も上下左右に移動させることができます。

二次関数を一般的な形で書くと
y=ax2+bx+c
となります。
二次関数のグラフを書くときの定石は、
「平方完成」というやつです。

多分それで記事一つ分かけるので、とりあえずここまで。
タグ:
posted by カレハ at 11:58| Comment(0) | TrackBack(0) | Study | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年09月04日

2次関数のグラフ(その1:中途半端に終わっています)

更新頻度が上がらなくて申し訳ありません。

2次関数のグラフってどんな形をしているでしょうか・・・?
グラフの形を知りたければ、
y=x2
に数字を代入して
グラフ用紙に点を打ってみれば分かるので、知らないなら一度やってみることをお勧めします。

で、どのような形かというと
「放物線」  です。
放物線は、物を斜めに投げ上げたときに物体が描く軌跡
といえばよいでしょうか。

(だから、物理でやる斜方投射の式は
y=v0t+1/2at2 で、2次関数形になっていますね)

放物線の式は一般的に y=ax2+bx+c (a≠0)
であらわされます。
この式が因数分解できるとすると、それは何を表すでしょう。

・・・ちょっと考えておいてください。
posted by カレハ at 22:39| Comment(0) | TrackBack(0) | Study | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年08月17日

別館のお知らせ。

日記感覚で、軽く書き込む用の

Peace of Mind 数学塾別館
なる物を作ってみました。

ここでは書かない、お勧めの本とか、
学校の数学とか書いていきたいと思いますので、
ぜひどうぞ。
posted by カレハ at 22:58| Comment(0) | TrackBack(0) | Info | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

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