数学塾

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(メールではなく、ブログ上で返事をさせてください。)メールの返信

気がつけば春、でした。
丁度、半年振りの投稿になります。
別に、私が死んでいたわけでも、
このブログを捨てたわけでもありません。
ただ「なんとなく」で生きているので、
ブログも「なんとなく」となってしまうわけで･･･

というか、メールを頂きまして、
また、やれそうならやるか。。。という気になったので、
近々また始めたいなぁ、と思った次第です。

ただ、自分の数学の勉強でややいっぱいな部分があるので、
どこまで軌道に乗るかは、モチベーション次第かな?

1ヶ月ぶりになってしまいました･･･

2次関数の最大最小を求める問題って、高1だと良く出るんです。
夏休みに塾の夏期講習で、叩き込まれた覚えがあるのですが、
なんだかよく分からないくらい、この手の問題が解けるようになって、
おかげで、高1の間はちょっと成績がよかったかなぁ。。。
でも、講習中に一番前の席で寝て「ガクッ」となって、大きい音を立ててしまい、すごく恥ずかしい思いをした、余計な思い出もあります。
眠いときは、我慢しないで思い切り寝ましょう。

ここからが、本題。

2次関数は放物線の形をしています。
なので、y=ax²+bx+cの関数のyの値について、
関数全体を見たときは、
下に凸の形の場合は、頂点が最小、
上に凸の形の場合は、頂点が最大　　になります。

そして、
下に凸の形の場合は、最大値、
上に凸の形の場合は、最小値　　が存在しません。
グラフの形を見れば分かりますが、線は左右に広がり縦に伸び続けます。

なので、学校の問題で「最大値、最小値を求めよ｣と書いてあっても、
「そういう値はない」という結果になる可能性もあるわけです。
問われているなら、答えがあるはずだ
という考えは捨てましょう･･･。

しかしこんな問題では簡単なので、定義域(xの範囲)が決められていることがほとんどです。
これがまた厄介なのですが、今回は一番単純なパターンをまず考えて見ます。

問)次の関数の最大値と最小値を求めよ。
y=x²-2x+2
1)0≦x≦3
2)2≦x≦3

とりあえず、この関数が座標上でどの様な形をしているかを考えます。
y=x²-2x+2
=(x-1)²+1
つまり、頂点(1,1)で、下に凸のグラフです。

1)0≦x≦3のとき、
頂点(x=1)が含まれているので、このときのy値が最小値です。
このグラフは、頂点から距離が遠いほど大きい値をとります。
1→0より、1→3のほうが遠いので、
x=0よりx=3のときのほうが、大きい値をとります。
よって、
最大値　5　、　最小値　1　です。

2)2≦x≦3のとき、
頂点は含まれていません。
ということで、この範囲のxの値のとるyの値を比べなければいけないわけです。
しかし、このグラフは、頂点から距離が遠いほど大きい値をとる、ということから頂点 x=1　からの距離を考えれば、
最小値　x=2 のとき2 、最大値 x=3 のとき5
と、あれこれ計算しなくても、分かるわけです。

これなら単純に分かるのですが、
「高校数学のポイントは、場合分け」
といわれるように、ちょっとはっきりしないaとかbとかcみたいな
物が入ってくると、あんなとき、こんなとき･･･
といろいろな場合を考えないといけないわけです。
これが分かれば、高1の数学は頂きモノじゃないかと私は思うんですけどね。

何で中学高校のときは、分かりやすいことから応用していったのに、
大学の数学は抽象的なことから、具体的な話をするんだろう。
でも具体的なものより、n×n行列みたいな方が好きかな。

二次関数の頂点って、どうやったら分かるのというお話。

二次関数というのは、y=ax²を平行移動したものです。
（aは好きな数字)
このときの頂点の位置は(0,0)です。
では、これが(2,1)に移動したとします。
このとき、グラフ上の点は全部「右に2、上に1」移動したと考えられます。
y=ax²のグラフ上の点を一般的に(x,y)と書いてみると、
移動したあとのグラフの点は、x,yを使って、
(x-2,y-1)と書くことができます。
ここで、「何で??」と思った人は、下の文章を読んでみてください。
正の方向に移動したのに、何故引き算??と思ってしまった人へ。
移動したあとのグラフの座標をX,Yとすると、
x=X+2
y=Y+1
ということは、
X=x-2
Y=y-1
実はこれだけです。

これをy=ax²の、x,yと置き換えると、
y=a(x-2)²+1
となって、これが頂点(2,1)の二次関数の方程式です。
逆にたどっていくと、式から頂点の座標が分かる、ということが分かると思います。

平方完成ができるようになったところで、
グラフを書いてみましょう!!　というのが今回のテーマ。

二次関数の一番簡単な形(今後「基本の形」と言う事にします)は
y=x²です。
これは、頂点が原点にあって、下に凸、y軸対称
な放物線のグラフになるというのは、これまでで分かると思います。
(分からなければ書いてみるのが一番です。)

では、y=(x+2)²はどうなるでしょうか。
(前回の例(1)です。)
少し平面上に点を取ってみると、
x=0のときy=4
x=±1のときy=9
x=±2のときy=16
となり、基本の形の頂点をそのまま上のほうにずらしたものになります。
それっぽく言うなら、たとえば「y軸方向に+4平行移動」といえばいいでしょうか。「y軸正方向に4平行移動」でも同じことです。
「形が変わっていない」のも割と重要です。
形が変わってしまったら、平行移動ではなくなってしまうからです。
そして「どれだけ移動したか」＝「頂点がいくつ移動したか」
であることに注意しましょう。

ただ、いちいち点を取って、線で結ばないといけない、
というのは面倒なので、式を見てグラフが書けるようになりたいと思います。

今回はあまり内容がありませんでしたが、
長くなりすぎないために、ここで区切っておきます。

8/17にお知らせした別館が、
「別館:数学塾」
という名前で、アメーバに移動させることにしました。
記事を移動させているところです。
新しいアドレスは、http://ameblo.jp/mathematik/

ちなみに、"Mathematik"はドイツ語で数学という意味です。
英語と似てますね。

一次関数が動けば、二次関数も動く。
そもそも、原点を通るグラフのほうが少ないわけです。
そんなことを考えながら、平方完成のお話。

平方完成は、二次式を
平方→何かの2乗の形
とその和や差に表現し直すことです。

上で書いた、何かの二乗の形、というのは具体的にいうと
(x+△)²
の形です。(xは変数、△は何でもいい)
平方完成したあとは、
xに係数がついていてはいけません。
では、
具体的に計算をしてみることにしましょう。

例)
1)y=x²+4x+4
2)y=x²+4x+7
3)y=2x²+4x+15

1)はこれまでにやってきたとおりのものです。
　y=x²+4x+4
　 =(x+2)²

2)は1と比べると+3したものになっているので･･･
　y=x²+4x+7
　 =(x+2)²+3
ただ単に3を足せばよいわけです。
無理やり、2乗にしようとしても無理なものは無理なのです。
そんなときは、あとで加えておけばよいわけです。

3)はさらに変形してあります。
この式から(x+△)²の形を導き出すためには
とりあえず、2乗の前の2をxから引き離してしまいましょう。
ただ、15は2で割ると分数になってしまうので、ここでは放っておきます。
分数ほど面倒なものはないですから。
　y=2x²+4x+15
　 =2(x²+2x)+15
次に、展開したらx²+2xのような形が出てくる
(x+△)²を考えて見ます。
(x+1)²
=x²+2x+1　…
ですね。
これを上の式と比べてみます。
　y=2x²+4x+15
　 =2(x²+2x)+15
　 =2(x²+2x+1)+15-2
()の中身を、で置き換えてみました。
そうすると、はじめより2大きくなってしまったので、
最後にその分を引いておきます。
最後にこれをまとめて、
答えは　y=2(x²+1)²+13

どうしたら、(x+△)²の形をすばやく判断できるのかというと、
私は、xの係数を見ています。
(x+△)²=x²+2△x+△²
なので、xの係数の1/2が△になっているのです。
あとは、余計なものを足したり引いたりして、
最終的に前後が同じになるように調節します。

これができるようになれば、
グラフィも簡単に書くことができます。

前回はあまり考えないで、記事を作ってしまったので、
今日は教科書を見ながら記事を書きます

二次関数で一番簡単なグラフは
y=ax²
です。
このグラフでは、放物線の一番とがったところ(「頂点」といいます)
が、原点Oを通ります。そして、y軸に関して左右対称です。

関数の問題で「二次関数である」と明記してある場合
y=ax²
のaは0ではありません。0だと二次の項がなくなってしまい、
二次関数ではなくなってしまうからです。
逆に何も書いていなかった場合は、二次関数でない場合も考えても良い
(または、考えなければいけない)ということです。

aは色々な数を取ることができるので、正の数の事も負の数の事もあります。
aが正の数の場合→放物線は下にとがった形(下に凸)
aが負の数の場合→放物線は上にとがった形(上に凸)です。

一次関数を上下に移動させることができたように、
二次関数も上下左右に移動させることができます。

二次関数を一般的な形で書くと
y=ax²+bx+c
となります。
二次関数のグラフを書くときの定石は、
「平方完成」というやつです。

多分それで記事一つ分かけるので、とりあえずここまで。

更新頻度が上がらなくて申し訳ありません。

2次関数のグラフってどんな形をしているでしょうか･･･?
グラフの形を知りたければ、
y=x²
に数字を代入して
グラフ用紙に点を打ってみれば分かるので、知らないなら一度やってみることをお勧めします。

で、どのような形かというと
「放物線」　　です。
放物線は、物を斜めに投げ上げたときに物体が描く軌跡
といえばよいでしょうか。

（だから、物理でやる斜方投射の式は
y=v0t+1/2at² で、2次関数形になっていますね）

放物線の式は一般的に　y=ax²+bx+c (a≠0)
であらわされます。
この式が因数分解できるとすると、それは何を表すでしょう。

･･･ちょっと考えておいてください。

日記感覚で、軽く書き込む用の

Peace of Mind 数学塾別館
なる物を作ってみました。

ここでは書かない、お勧めの本とか、
学校の数学とか書いていきたいと思いますので、
ぜひどうぞ。